Utforsking av eksponentielt vektet Flytende Gjennomsnittlig volatilitet er det vanligste risikobilledet, men det kommer i flere smaker. I en tidligere artikkel viste vi hvordan du kan beregne enkel historisk volatilitet. (For å lese denne artikkelen, se Bruke volatilitet for å måle fremtidig risiko.) Vi brukte Googles faktiske aksjekursdata for å beregne den daglige volatiliteten basert på 30 dagers lagerdata. I denne artikkelen vil vi forbedre den enkle volatiliteten og diskutere eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt (EWMA). Historisk Vs. Implisitt volatilitet Først kan vi sette denne metriske inn i litt perspektiv. Det er to brede tilnærminger: historisk og underforstått (eller implisitt) volatilitet. Den historiske tilnærmingen antar at fortid er prolog, vi måler historie i håp om at det er forutsigbart. Implisitt volatilitet, derimot, ignorerer historien den løser for volatiliteten underforstått av markedsprisene. Det håper at markedet vet best, og at markedsprisen inneholder, selv om det implisitt er, et konsensusoverslag over volatiliteten. Hvis du fokuserer på bare de tre historiske tilnærmingene (til venstre over), har de to trinn til felles: Beregn serien av periodisk avkastning Bruk en vektingsplan Først må vi beregne periodisk avkastning. Det er vanligvis en serie av daglige avkastninger der hver retur er uttrykt i kontinuerlig sammensatte vilkår. For hver dag tar vi den naturlige loggen av forholdet mellom aksjekursene (det vil si prisen i dag fordelt på pris i går, og så videre). Dette gir en rekke daglige avkastninger, fra deg til deg i-m. avhengig av hvor mange dager (m dager) vi måler. Det får oss til det andre trinnet: Det er her de tre tilnærmingene er forskjellige. I den forrige artikkelen (Bruk av volatilitet for å måle fremtidig risiko) viste vi at det med noen akseptable forenklinger er den enkle variansen gjennomsnittet av kvadreret retur: Legg merke til at dette beløper hver periodisk avkastning, og deler deretter den totale av antall dager eller observasjoner (m). Så, det er egentlig bare et gjennomsnitt av den kvadratiske periodiske avkastningen. Sett på en annen måte, hver kvadret retur blir gitt like vekt. Så hvis alfa (a) er en vektningsfaktor (spesifikt en 1m), ser en enkel varians slik ut: EWMA forbedrer seg på enkel variasjon Svakheten i denne tilnærmingen er at alle avkastningene tjener samme vekt. Yesterdays (veldig nylig) avkastning har ingen større innflytelse på variansen enn de siste månedene tilbake. Dette problemet er løst ved å bruke det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA), der nyere avkastning har større vekt på variansen. Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) introduserer lambda. som kalles utjevningsparameteren. Lambda må være mindre enn en. Under denne betingelsen, i stedet for likevekter, vektlegges hver kvadret retur med en multiplikator på følgende måte: RiskMetrics TM, et finansiell risikostyringsfirma, har en tendens til å bruke en lambda på 0,94 eller 94. I dette tilfellet er den første ( siste) kvadratiske periodiske avkastningen er vektet av (1-0.94) (.94) 0 6. Den neste kvadrerade retur er bare et lambda-flertall av den tidligere vekten i dette tilfellet 6 multiplisert med 94 5,64. Og den tredje forrige dagens vekt er lik (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Det er betydningen av eksponensiell i EWMA: hver vekt er en konstant multiplikator (dvs. lambda, som må være mindre enn en) av den tidligere dagens vekt. Dette sikrer en variasjon som er vektet eller forspent mot nyere data. (For å lære mer, sjekk ut Excel-regnearket for Googles volatilitet.) Forskjellen mellom bare volatilitet og EWMA for Google er vist nedenfor. Enkel volatilitet veier effektivt hver periodisk avkastning med 0,196 som vist i kolonne O (vi hadde to års daglig aksjekursdata. Det er 509 daglige avkastninger og 1509 0,196). Men merk at kolonne P tildeler en vekt på 6, deretter 5,64, deretter 5,3 og så videre. Det er den eneste forskjellen mellom enkel varians og EWMA. Husk: Etter at vi summerer hele serien (i kolonne Q) har vi variansen, som er kvadratet av standardavviket. Hvis vi vil ha volatilitet, må vi huske å ta kvadratroten av den variansen. Hva er forskjellen i den daglige volatiliteten mellom variansen og EWMA i Googles tilfelle. Det er signifikant: Den enkle variansen ga oss en daglig volatilitet på 2,4, men EWMA ga en daglig volatilitet på bare 1,4 (se regnearket for detaljer). Tilsynelatende avviklet Googles volatilitet mer nylig, derfor kan en enkel varianse være kunstig høy. Dagens variasjon er en funksjon av Pior Days Variance Du vil legge merke til at vi trengte å beregne en lang rekke eksponentielt avtagende vekter. Vi vil ikke gjøre matematikken her, men en av EWMAs beste egenskaper er at hele serien reduserer til en rekursiv formel: Rekursiv betyr at dagens variansreferanser (dvs. er en funksjon av tidligere dager varians). Du kan også finne denne formelen i regnearket, og det gir nøyaktig samme resultat som longhandberegningen. Det står: Dagens varians (under EWMA) er lik ydersidens varians (veid av lambda) pluss yderdagskvadret retur (veid av en minus lambda). Legg merke til hvordan vi bare legger til to begreper sammen: Yesterdays weighted variance og yesterdays weighted, squared return. Likevel er lambda vår utjevningsparameter. En høyere lambda (for eksempel som RiskMetrics 94) indikerer tregere forfall i serien - relativt sett vil vi ha flere datapunkter i serien, og de kommer til å falle av sakte. På den annen side, hvis vi reduserer lambda, indikerer vi høyere forfall: vikene faller av raskere, og som et direkte resultat av det raske forfallet blir færre datapunkter benyttet. (I regnearket er lambda en inngang, slik at du kan eksperimentere med følsomheten). Sammendrag Volatilitet er den øyeblikkelige standardavviket for en aksje og den vanligste risikometrisk. Det er også kvadratroten av variansen. Vi kan måle variansen historisk eller implisitt (implisitt volatilitet). Når man måler historisk, er den enkleste metoden enkel varians. Men svakheten med enkel varians er alle returene får samme vekt. Så vi står overfor en klassisk avvei: vi vil alltid ha mer data, men jo flere data vi har jo mer vår beregning er fortynnet av fjernt (mindre relevante) data. Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) forbedres på enkel varians ved å tildele vekt til periodisk retur. Ved å gjøre dette kan vi begge bruke en stor utvalgsstørrelse, men gi også større vekt til nyere avkastninger. (For å se en filmopplæring om dette emnet, besøk Bionic Turtle.) Et mål på forholdet mellom en endring i mengden som kreves av et bestemt godt og en endring i prisen. Pris. Den totale dollarverdien av alle selskapets utestående aksjer. Markedsverdien beregnes ved å multiplisere. Frexit kort for quotFrench exitquot er en fransk spinoff av begrepet Brexit, som dukket opp da Storbritannia stemte til. En ordre som er plassert hos en megler som kombinerer funksjonene til stoppordre med grensene. En stoppordre vil. En finansieringsrunde hvor investorer kjøper aksjer fra et selskap til lavere verdsettelse enn verdsettelsen plassert på. En økonomisk teori om total utgifter i økonomien og dens effekter på produksjon og inflasjon. Keynesian økonomi ble utviklet. Beregning av historisk volatilitet Ved bruk av EWMA-volatilitet er det mest brukte risikobilledet. Volatilitet i denne forstand kan enten være historisk volatilitet (en observert fra tidligere data), eller det kunne medføre volatilitet (observert fra markedsprisene på finansielle instrumenter.) Den historiske volatiliteten kan beregnes på tre måter, nemlig: Enkel volatilitet, eksponentielt vektet bevegelse Gjennomsnittlig (EWMA) GARCH En av de største fordelene ved EWMA er at den gir mer vekt til den siste avkastningen mens du beregner avkastningen. I denne artikkelen vil vi se på hvordan volatiliteten beregnes ved hjelp av EWMA. Så kan vi komme i gang: Trinn 1: Beregne loggkastene i prisserien Hvis vi ser på aksjekursene, kan vi beregne den daglige lognormale avkastningen ved hjelp av formelen ln (P i P i -1), hvor P representerer hver dager avsluttende aksjekurs. Vi trenger å bruke den naturlige loggen fordi vi vil at avkastningen skal bli kontinuerlig sammensatt. Vi vil nå få daglige avkastninger for hele prisserien. Trinn 2: Firkant avkastningen Det neste trinnet er å ta kvadratet med lang avkastning. Dette er faktisk beregningen av enkel varians eller volatilitet representert ved følgende formel: Her representerer du avkastningen, og m representerer antall dager. Trinn 3: Tilordne vekter Tilordne vekter slik at siste avkastning har høyere vekt og eldre avkastninger har mindre vekt. For dette trenger vi en faktor kalt Lambda (), som er en utjevningskonstant eller den vedvarende parameteren. Vektene er tildelt som (1) 0. Lambda må være mindre enn 1. Risikometrisk bruker lambda 94. Den første vekten vil være (1-0.94) 6, den andre vekten vil være 60,94 5,64 og så videre. I EWMA belaster alle vekter til 1, men de faller med et konstant forhold på. Trinn 4: Multiple Returns-kvadrert med vektene Trinn 5: Ta summen av R2 w Dette er den siste EWMA variansen. Volatiliteten vil være kvadratroten av variansen. Følgende skjermbilde viser beregningene. Eksemplet ovenfor som vi så er tilnærmingen beskrevet av RiskMetrics. Den generelle form for EWMA kan representeres som følgende rekursive formel: GARCH og EWMA 21. mai 2010 av David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Sammenlign, kontrast og beregne parametriske og ikke-parametriske tilnærminger for estimering av betinget volatilitet 8230 Inkludert: GARCH Tilnærming: EXPONENTIAL SMOOTHING (EWMA) Eksponensiell utjevning (betinget parametrisk) Moderne metoder legger vekt på ny informasjon. Både EWMA og GARCH legger mer vekt på ny informasjon. Videre, som EWMA er et spesielt tilfelle av GARCH, benytter både EWMA og GARCH eksponensiell utjevning. GARCH (p, q) og spesielt GARCH (1, 1) GARCH (p, q) er en generell autoregressiv betinget heteroskedastisk modell. Viktige aspekter er: Autoregressive (AR). tomorrow8217s varians (eller volatilitet) er en regressert funksjon av today8217s variance8212it regres på seg betinget (C). tomorrow8217s varians avhenger8212 er betinget av8212 den siste variansen. En ubetinget varians ville ikke avhenge av today8217s varians Heteroskedastic (H). Variasjoner er ikke konstante, de flyter over tid GARCH regres på 8220lagged8221 eller historiske termer. De forsinkede vilkårene er enten varians eller kvadreret retur. Den generiske GARCH-modellen (p, q) regres på (p) kvadret retur og (q) avvik. Derfor GARCH (1, 1) 8220lags8221 eller regres på siste period8217s kvadret retur (dvs. bare 1 retur) og siste period8217s varians (dvs. bare 1 varians). GARCH (1, 1) gitt av følgende ligning. Den samme GARCH (1, 1) - formelen kan gis med greske parametere: Hull skriver den samme GARCH-ligningen som: Den første termen (gVL) er viktig fordi VL er den langsiktige gjennomsnittlige variansen. Derfor er (gVL) et produkt: det er vektet langsiktig gjennomsnittsvariasjon. GARCH (1, 1) - modellen løser for betinget varians som en funksjon av tre variabler (tidligere varians, tidligere retur2 og langvarig varians): Persistens er en funksjon som er innebygd i GARCH-modellen. Tips: I de ovennevnte formlene er persistens (b c) eller (alfa-1 beta). Persistens refererer til hvor raskt (eller sakte) variansen reverts eller 8220decays8221 mot dens langsiktige gjennomsnitt. Høy utholdenhet tilsvarer langsom forfall og sakte 8220regression mot mean8221 lav persistens tilsvarer rask forfall og rask 8220reversjon til gjennomsnittet.8221 En utholdenhet på 1,0 betyr ingen vesentlig reversering. En utholdenhet på mindre enn 1,0 innebærer 8220reversjon til gjennomsnittet, 8221 hvor en lavere persistens innebærer større reversering til gjennomsnittet. Tips: Som ovenfor er summen av vektene som er tilordnet den forsinkede variansen og tilbaketrukket kvadret retur, utholdenhet (bc persistens). En høy persistens (større enn null men mindre enn en) innebærer langsom reversering til gjennomsnittet. Men hvis vektene som er tilordnet den forsinkede variansen og forsinket kvadret retur er større enn en, er modellen ikke-stasjonær. Hvis (bc) er større enn 1 (hvis bc gt 1) er modellen ikke-stasjonær og, ifølge Hull, ustabil. I hvilket tilfelle er EWMA foretrukket. Linda Allen sier om GARCH (1, 1): GARCH er begge 8220compact8221 (dvs. relativt enkel) og bemerkelsesverdig nøyaktig. GARCH-modellene dominerer i vitenskapelig forskning. Mange varianter av GARCH-modellen har blitt forsøkt, men få har forbedret seg på originalen. Ulempen ved GARCH-modellen er dens ikke-linearitet sic. For eksempel: Løs for langvarig varians i GARCH (1,1). Vurder GARCH (1, 1) ligningen nedenfor: Anta at: alfa-parameteren 0,2, beta-parameteren 0,7, og merk at omega er 0,2, men don8217t feil omega (0.2) for den langsiktige variansen Omega er et produkt av gamma og den langsiktige variansen. Så, hvis alpha beta 0.9, må gamma være 0,1. Gitt at omega er 0,2, vet vi at den langsiktige variansen må være 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mer notasjonsforskjell mellom Hull og Allen EWMA er et spesielt tilfelle av GARCH (1,1) og GARCH (1,1) er et generalisert tilfelle av EWMA. Den store forskjellen er at GARCH inkluderer tilleggsperioden for gjennomsnitts reversering og EWMA mangler en gjennomsnittlig reversering. Slik får vi fra GARCH (1,1) til EWMA: Så la vi 0 og (bc) 1 slik at ovennevnte ligning forenkler: Dette er nå ekvivalent med formelen for eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt (EWMA): I EWMA bestemmer lambda-parameteren 8220decay: 8221 en lambda som er nær en (høy lambda), viser langsom forfall. RiskMetricsTM Approach RiskMetrics er en merket form av eksponentielt vektet glidende gjennomsnittlig (EWMA) tilnærming: Den optimale (teoretiske) lambda varierer etter aktivaklasse, men den overordnede optimale parameteren som brukes av RiskMetrics har vært 0.94. I praksis bruker RiskMetrics bare en nedbrytingsfaktor for alle serier: 183 0,94 for daglige data 183 0,97 for månedlige data (måned definert som 25 handelsdager) Teknisk er de daglige og månedlige modellene inkonsekvente. Imidlertid er de begge enkle å bruke, de omtrentlige oppførselen til de faktiske dataene ganske bra, og de er robuste for manglende spesifisering. Merk: GARCH (1, 1), EWMA og RiskMetrics er hver parametrisk og rekursiv. Rekursive EWMA-fordeler og ulemper ved MA (dvs. STDEV) versus GARCH Grafisk sammendrag av parametriske metoder som tilordner mer vekt til siste avkastning (GARCH amp EWMA) Sammendragstips: GARCH (1, 1) er generaliserte RiskMetrics, og omvendt er RiskMetrics begrenset tilfelle av GARCH (1,1) hvor en 0 og (bc) 1. GARCH (1, 1) er gitt av: De tre parametrene er vekt og må derfor summeres til en: Tips: Vær forsiktig med første termen i GARCH (1, 1) ligning: omega () gamma () (gjennomsnittlig langvarig varians). Hvis du blir bedt om variansen, må du kanskje dele vekten for å beregne den gjennomsnittlige variansen. Bestem når og hvorvidt en GARCH - eller EWMA-modell skal brukes i volatilitetsestimering. I praksis er variansrater en gjennomsnittlig tilbakegang. Derfor er GARCH (1, 1) - modellen teoretisk overlegen (8220 mer tiltalende enn8221) til EWMA-modellen. Husk at that8217 er den store forskjellen: GARCH legger til parameteren som veier det langsiktige gjennomsnittet, og derfor inkorporerer det gjennomsnittlig reversering. Tips: GARCH (1, 1) er foretrukket med mindre den første parameteren er negativ (som er underforstått hvis alpha beta gt 1). I dette tilfellet er GARCH (1,1) ustabil og EWMA foretrekkes. Forklar hvordan GARCH-estimatene kan gi prognoser som er mer nøyaktige. Det bevegelige gjennomsnitt beregner variansen basert på et bakre vindu med observasjoner, f. eks. de forrige ti dagene, de forrige 100 dagene. Det er to problemer med å flytte gjennomsnittet (MA): Ghosting-funksjonen: Volatilitetsjokk (plutselige økninger) blir plutselig innlemmet i MA-metrinet, og da når det bakre vinduet går, blir de brått fallet fra beregningen. På grunn av dette endres MA-metriske forhold i forhold til valgt vindelengde. Trendinformasjon er ikke innlemmet. GARCH-estimater forbedrer disse svakhetene på to måter: Nyere observasjoner blir tildelt større vekt. Dette overstyrer spøkelse fordi et volatilitetsjokk vil umiddelbart påvirke estimatet, men dets innflytelse vil falme gradvis etter hvert som tiden går. Et begrep er lagt til for å inkludere reversjon til gjennomsnittet. Forklar hvordan vedholdenhet er relatert til reversjonen til gjennomsnittet. GARCH (1, 1) ligning: Persistens er gitt av: GARCH (1, 1) er ustabil hvis persistensen gt 1. En utholdenhet på 1,0 indikerer ingen gjennomsnittlig reversering. En lav persistens (f. eks. 0,6) indikerer hurtig forfall og høy reversering til middelverdien. Tips: GARCH (1, 1) har tre vekter tildelt tre faktorer. Persistens er summen av vektene tilordnet både den forsinkede variansen og tilbaketrukket kvadret retur. Den andre vekten er tilordnet den langsiktige variansen. Hvis P-persistens og G-vekt tilordnet langvarig varians, så PG 1. Derfor, hvis P (utholdenhet) er høy, er G (gjennomsnittlig reversering) lav: Den vedvarende serien er ikke sterkt betyr å returnere den viser 8220slow decay8221 mot mener. Hvis P er lav, må G være høy: Den impersistente serien betyr sterkt at den returnerer den viser 8220rapid decay8221 mot gjennomsnittet. Den gjennomsnittlige, ubetingede variansen i GARCH (1, 1) - modellen er gitt ved: Forklar hvordan EWMA systematisk reduserer eldre data, og identifiser RiskMetrics174 daglige og månedlige forfallsfaktorer. Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) er gitt ved: Ovennevnte formel er en rekursiv forenkling av 8220true8221 EWMA-serien som er gitt av: I EWMA-serien er hver vekt som er tilordnet kvadreret retur et konstant forhold av den foregående vekten. Spesielt er lambda (l) forholdet mellom nabolandene. På denne måten blir eldre data systematisk diskontert. Den systematiske rabatten kan være gradvis (sakte) eller abrupt, avhengig av lambda. Hvis lambda er høy (f. eks. 0,99), er diskonteringen svært gradvis. Hvis lambda er lavt (for eksempel 0,7), er diskonteringen mer abrupt. RiskMetrics TM forfallsfaktorer: 0,94 for daglige data 0,97 for månedlige data (måned definert som 25 handelsdager) Forklar hvorfor prognosekorrelasjoner kan være viktigere enn prognosevolatiliteter. Ved måling av porteføljens risiko kan korrelasjoner være viktigere enn individuell instrumentvolatilitetvariasjon. Derfor, med hensyn til porteføljens risiko, kan en korrelasjonsprognose være viktigere enn de enkelte volatilitetsprognosene. Bruk GARCH (1, 1) til å prognostisere volatilitet Den forventede fremtidige variansraten, i (t) perioder fremover, er gitt ved: For eksempel, anta at et nåværende volatilitetsestimat (periode n) er gitt av følgende GARCH (1, 1) ) ligning: I dette eksemplet er alfa vekten (0,1) tilordnet den forrige kvadreret retur (den forrige avkastningen var 4), beta er vekten (0,7) tilordnet den forrige variansen (0.0016). Hva er forventet fremtidig volatilitet, om ti dager (n 10) Løs først på den langsiktige variansen. Det er ikke 0.00008 denne termen er produktet av variansen og dens vekt. Siden vekten må være 0,2 (1 - 0,1 -0,7), den lange variansen 0.0004. For det andre trenger vi nåværende varians (periode n). Det er nesten gitt til oss over: Nå kan vi bruke formelen til å løse forventet fremtidig variansrate: Dette er forventet variansrate, slik at forventet volatilitet er ca. 2,24. Legg merke til hvordan dette virker: Den nåværende volatiliteten er ca. 3,69, og den langsiktige volatiliteten er 2. Den 10-dagers fremadprojeksjonen 8220fades8221 gjeldende hastighet nærmere den langsiktige frekvensen. Nonparametrisk volatilitetsprognoser
No comments:
Post a Comment